Тед Чан — Деление на ноль

История твоей жизни

  “Деление числа на ноль дает в итоге бесконечно большое число. Причина в том, что деление определяется как действие, обратное умножению: если разделить на ноль, а потом результат на ноль умножить, должно получиться исходное число. Но даже бесконечность, умноженная на ноль, дает ноль, и только ноль. Нет ничего, что можно было бы умно-жить на ноль и получить ненулевой результат; следовательно, результат деления на ноль в буквальном смысле неопределенный. ...

&  Есть хорошо известное "доказательство", демонстрирующее, что один равен двум. Начинается оно с постулатов: "Пусть а = 1, пусть b = 1", а завершается выводом: "а = 2а", иными словами, единица равна двум. В середине, незаметное на первый взгляд, прячется деление на ноль, но, как только оно вводится, все построение выходит за грань приемлемого, обнуляя и лишая силы все правила. Допущение деления на ноль позволяет доказать не только, что один равен двум, но что любые два числа равны друг другу — действительные и мнимые, рациональные и иррациональные.

&  В "Principia Mathematica" Бертран Рассел, и Альфред Уайтхед, опираясь на формальную логику, попытались дать четкое обоснование основ математики. Они начали с того, что считалось аксиомами, и на основе этой аксиоматики доказывали теоремы все большей сложности. К странице 362 они установили достаточно, чтобы доказать: "1 + 1 = 2".

&  Ребенком семи лет Рене, разведывая дом одной родственницы, была зачарована, обнаружив в гладких мраморных плитах пола идеальные квадраты. Один квадрат, два ряда по два, три ряда по три, четыре ряда по четыре: все плиты складывались в квадрат. Разумеется. С какой бы стороны на них ни смотреть, выходило то же самое. И более того, каждый квадрат был больше предыдущего на нечетное число плиток. Это было сродни богоявлению. Вывод напрашивался, в нем была праведность, подтверждаемая холодной гладкостью керамики. Как подогнаны плитки, как невероятно ровны разделяющие их линии — Рене поежилась от точности.
    Позднее пришли и другие прозрения, другие достижения. {...} Много важнее было то ощущение праведности, лежавшее в сердце каждой теоремы, которую она узнавала. Истина, непреложная, как материальность плиток, выверенная, как их разделительные линии.

&  В начале девятнадцатого века математики стали исследовать геометрии, отличные от евклидовой; эти альтернативные геометрии приводили к результатам, казавшимся полностью абсурдными, но при этом не содержали в себе логических противоречий. Позднее было доказано, что неевклидовы геометрии вполне последовательно соотносятся с евклидовой: они логически замкнуты постольку, поскольку таковой является евклидова геометрия.
    Однако тот факт, что евклидова геометрия логически замкнута, так и не был доказан. Максимум, чего удалось достичь к концу девятнадцатого века, — это доказать, что евклидова геометрия логически замкнута постольку, поскольку логически замкнута арифметика.

---

&  На Втором Международном конгрессе математиков в 1900 году Дэвид Гильберт представил список того, что считал двадцатью тремя самыми важными нерешенными проблемами математики. Вторым пунктом в его списке стояло требование найти доказательство непротиворечивости арифметики. Подобное доказательство подтвердит непротиворечивость значительной части положений высшей математики. По сути, оно даст твердую гарантию, что никто больше не докажет, что один равен двум. Мало кто из математиков придал значение этой задаче.

&  В 1931 году Курт Гёдель доказал две теоремы. Первая, по сути, показывает, что математика содержит утверждения, которые, возможно, истинны, но по природе своей недоказуемы. Даже столь элементарная формальная система, как арифметика, допускает утверждения строгие, осмысленные и кажущиеся истинными, однако эта истинность не может быть доказана формальным путем.
    Его вторая теорема показывает, что претензия арифметики на полноту как раз и является таким утверждением: она не может быть доказана никаким методом, опирающимся на аксиомы арифметики. Иными словами, арифметика как формальная система не может гарантировать от таких результатов, как "1 = 2". Предположим, с подобными противоречиями до сих пор никто не сталкивался, но невозможно доказать, что никто никогда с ними так и не столкнется.

&  — Ты не можешь найти, где ошибка, это ты хочешь сказать?
    — Да нет же, ты не слушаешь, Ты думаешь, я мечусь из-за такой малости? В доказательстве ошибки нет.
    — Иными словами, ошибка в том, что считается общепринятым?
    — Точно.
    — Ты... — Он остановился, но слишком поздно. Она поглядела на него враждебно. Ну конечно, она уверена. Он задумался о том, что это подразумевает.
    — Теперь понимаешь? — спросила Рене. — Я опровергла большую часть математики. Иными словами, она утратила смысл. ...
~ Вау. Что за идея!

&  В 1936 году Герхард Гентцен привел доказательство полноты арифметики, но для этого ему при-шлось прибегнуть к некоему спорному методу, известному как бесконечная индукция. Эта последняя не относилась к обычным методам доказательства и казалась мало уместной как гарантия непротиворечивости арифметики. Гентцен всего лишь доказал очевидное, допустив сомнительное.

&  Ей стало трудно разговаривать с людьми. Остальные на факультете начали ее избегать. Она не могла ни на чем сосредоточиться, а прошлой ночью ей приснился кошмар, в котором она открыла формализм, позволяющий переводить произвольные утверждения в математическое выражение, и тогда она доказала, что жизнь эквивалентна смерти.

&  Большая часть математики не имела практического применения: она существовала исключительно как формальная теория, которой занимаются ради ее интеллектуальной красоты.

&  Гильберт однажды сказал: "Если математическое мышление ущербно, где еще нам искать истину и непреложность?"

&  Она всегда задавалась вопросом, какое преимущество позволило ему стать для нее таким близким человеком. Ответ был прост. Это было различие между сочувствием и сопереживанием.

&  Альберт Эйнштейн однажды сказал: "Положения математики в той мере, в какой они описывают реальность, небесспорны; в той мере, в какой они бесспорны, они не описывают реальность".

&  Примечание автора
    Есть знаменитая формула такого вида:

    Когда я впервые увидел вывод этой формулы, у меня челюсть отвисла. Я попытаюсь объяснить почему.
    Один из тех моментов литературного произведения, которые больше всего вызывают восхищение читателя, — это финал неожиданный, но неизбежный. Тем же характеризуется элегантность проекта: изобретательность, очень хитрая и в то же время кажущаяся совершенно естественной. Конечно, мы знаем, что здесь нет настоящей неизбежности, но людская изобретательность заставляет нас ее увидеть — временно.
    Теперь вернемся к этой формуле. Она определенно удивительна: можно годами возиться с числами ℮, π и i, ставить их в самые разные контексты, но никогда не догадаться, что они связаны именно так. Но один раз увидев вывод формулы, вы ощутите, что равенство это поистине неизбежно, что только так и может быть. Это чувство благоговения, как от прикосновения абсолютной истины.
    Доказательство, что математика противоречива и что вся ее поразительная красота — всего лишь иллюзия, будет, мне кажется, самым горьким, что может узнать в жизни человек.

  ... Он открыл рот сказать, что в точности понимает, о чем она говорит, что чувствует то же, что и она. Но остановил себя: здесь сопереживание скорее разделяло их, чем соединяло, и этого он не мог ей сказать.”

См. также "История твоей жизни", "Семьдесят две буквы и "Ад – это отсутствие бога" из сборника "История твоей жизни".